Теория множеств

Материал из Seo Wiki - Поисковая Оптимизация и Программирование

Перейти к: навигация, поиск

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.

Содержание

История

Теория множеств Кантора

Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»).[1] Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre)[источник не указан 1942 дня].

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Тем не менее, другие крупные математики — в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!).

Однако, в работах русского математика Мириманова предлагалось не ограничиваться одними только несамопринадлежащими множествами, как делал это Кантор, но допустить операции и с самопринадлежащими множествами, логика этих операций отлична от интуитивно обычных представлений и позволяет разрешить парадоксы принадлежности (парадокс Рассела) и парадокс фундированных классов (известный также как парадокс Мириманова).

Аксиоматическая теория множеств

В начале XX века Бертран Рассел, изучая канторовскую теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность этой теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.

Не всеми математикам аксиома выбора принимается безоговорочно. Так, например Эмиль Борель и Анри Лебег считают, что доказательства, полученные при помощи этой аксиомы, имеют другую познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Другие же математики, такие как Феликс Хаусдорф и Адольф Френкель, принимают аксиому выбора безоговорочно, признавая за ней ту же степень очевидности, что и за другими аксиомами Цермело — Френкеля.[2]

Основные понятия

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как <math>x \in A</math>[3] — «x есть элемент множества A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:

Над множествами определены следующие операции:

Для множеств определены следующие бинарные отношения:

Приложения

См. также

Примечания

  1. Georg Cantor, Ueber unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884).
    Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895), 49 (1895).
  2. К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 61..
  3. Символ <math>\in</math> (от греч. εστι — «быть») введён итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Литература


ar:نظرية المجموعات

az:Çoxluq nəzəriyyəsi be:Тэорыя мностваў be-x-old:Тэорыя мностваў bg:Теория на множествата bn:সেট তত্ত্ব br:Teorienn an teskadoù bs:Teorija skupova ca:Teoria de conjunts cs:Teorie množin cv:Нумайлăх теорийĕ da:Mængdelære de:Mengenlehre en:Set theory eo:Aroteorio es:Teoría de conjuntos fa:نظریه مجموعه‌ها fi:Joukko-oppi fiu-vro:Hulgateooria fo:Mongdarlæra fr:Théorie des ensembles fur:Teorie dai insiemis he:תורת הקבוצות hi:समुच्चय सिद्धान्त hr:Teorija skupova hu:Halmazelmélet id:Teori himpunan io:Ensemblo-teorio is:Mengjafræði it:Teoria degli insiemi ja:集合論 ka:სიმრავლეთა თეორია ko:집합론 lmo:Teuría di cungjuunt lv:Kopu teorija mk:Теорија на множествата mr:संचप्रवाद ms:Teori set nl:Verzamelingenleer nn:Mengdelære no:Mengdelære nov:Ensemble-teorie pl:Teoria mnogości pms:Teorìa dj'ansem pt:Teoria dos conjuntos simple:Set theory sk:Teória množín sl:Teorija množic sr:Теорија скупова sv:Mängdteori ta:கணக் கோட்பாடு th:ทฤษฎีเซต uk:Алгебра множин vo:Konletateor yi:סכומען טעאריע zh:集合论 zh-classical:集論 zh-min-nan:Chi̍p-ha̍p-lūn zh-yue:集合論

Личные инструменты

Served in 0.288 secs.